Dr. Wiebke Salzmann

Lektorat • Naturwissenschaften

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Wirkungsgrad I

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Wirkungsgrad; Carnot-Wirkungsgrad

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Dampfmaschine & Co.

Carnot-Wirkungsgrad

Im 2. Schritt des carnotschen Kreisprozess verrichtet das Gas Arbeit, im 4. Schritt wird Arbeit am Gas verrichtet (siehe Abbildung 2 auf der Seite Carnotscher Kreisprozess.). Insgesamt wird beim carnotschen Kreisprozess jedoch vom Gas Arbeit verrichtet – man gewinnt also Arbeit. Diese gewonnene Arbeit ergibt sich als Differenz aus der im 1. Schritt aufgenommenen Wärme und der im 3. Schritt abgegebenen Wärme. Wird der carnotsche Kreisprozess einmal vollständig durchlaufen, hat das System seinen Anfangszustand exakt wieder erreicht, denn da es ein reversibler Prozess ist, ist „unterwegs“ keine Reibungswärme verloren gegangen. Für reversible Prozesse ist die Entropieänderung null (das sagt der 2. Hauptsatz der Thermodynamik). Es gilt also, dass die Entropieänderung für die Wärmeaufnahme bei der höheren Temperatur T1 (Schritt 1) und die Entropieänderung für die Wärmeabgabe bei der niedrigeren Temperatur T2 (Schritt 3) zusammen null ergeben. Diese Gleichung erlaubt es, zusammen mit der Formel für die gewonnene Arbeit den Wirkungsgrad zu berechnen.

Entropieänderung im 1. Schritt: ΔS = Q1 / T1

Entropieänderung im 2. Schritt: ΔS = Q2 / T2

(Zur Beschreibung der Entropie als Quotient aus der zu- oder abgeführten Wärme und der Temperatur, bei der dies geschieht, siehe 2. Hauptsatz der Thermodynamik.)

Die Entropieänderung während eines kompletten Umlaufs ist also:

ΔS = Q1 / T1 − Q2 / T2.

Die gesamte Entropieänderung muss null sein:

ΔS = Q1 / T1 − Q2 / T2 = 0.

Nach Q2 aufgelöst ergibt sich:

Q2 = Q1 T2 / T1.

Der Wirkungsgrad η gibt an, wie viel von der aufgenommenen Wärme Q1 in nutzbare Arbeit A umgewandelt werden kann; ist also das Verhältnis zwischen beiden:

η = A / Q1.

Die Arbeit ergibt sich als Differenz zwischen aufgenommener Wärme Q1 und abgegebener Wärme Q2:

η = A / Q1 = (Q1 − Q2) / Q1.

Setzt man in diese Gleichung nun den Ausdruck für Q2 ein, ergibt sich als Wirkungsgrad für den carnotschen Kreisprozess:

η = 1 − T2 / T1,

wobei T1 die höhere Temperatur ist, auf die das Gas erhitzt wird, und T2 die niedrigere, auf die das Gas am Ende des Kreisprozesses abgekühlt wird. Wie man sieht, ist der Wirkungsgrad kleiner als 1 – obwohl der carnotsche Kreisprozess ein reversibler Kreisprozess ist. Auch das ist wieder eine Auswirkung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. (Aus diesem hatten wir ja – in der Form ΔS = 0 für reversible Prozesse – den Carnot-Wirkungsgrad abgeleitet.)

Da T1 die höhere Temperatur ist, wird der Wirkungsgrad umso größer, je höher T1 ist, das heißt, je größer der Temperaturunterschied zwischen dem heißen und dem kälteren Wärmespeicher ist. Außerdem ist der Wirkungsgrad nur von diesen beiden Temperaturen abhängig. Das gilt für alle idealen Wärmekraftmaschinen. Auch bei realen Wärmekraftmaschinen ist der Wirkungsgrad umso höher, je größer der Unterschied zwischen der Temperatur, bei der die Wärme aufgenommen wird, und derjenigen, bei der die Wärme abgegeben wird – ihr Wirkungsgrad ist jedoch deutlich niedriger, infolge von Wärmeverlusten durch Reibung oder Strahlung.

Der Carnot-Wirkungsgrad ist der maximal mögliche Wirkungsgrad.

© Wiebke Salzmann
Datum der letzten Änderung: 14. Juli 2010